{2}-Inverses and Their Statistical Application

بسیاری از رویکرد سنتی به تجزیه و تحلیل مدل خطی در عبارات ماتریس پیچیده ای است که حول معکوس تعمیم یافته معمول می چرخند. انگیزه این نقش مهم معکوس تعمیم یافته است. پژوهش خلاصه شده در اینجا به عنوان علاقه به درک آغاز شد. از لحاظ هندسی چهار شرط تعیین کننده qnique معکوس مور-پنروز. چنین تحقیقی امید بود ممکن است به درک بهتری منجر شود. و احتمالا ساده سازی. عبارات ماتریسی معمولی در ابتدا این تحقیق توسط فرانسیس هسوان و پت لانگنبرگ، بدون اطلاع از مقاله کروسکال که در سال 1975 منتشر شد، آغاز شد. این نظارت شاید خوش شانسی بود. زیرا اگر آنها مقاله او را خوانده بودند ممکن بود به تلاش خود ادامه نمی دادند. خلاصه ای از این تحقیقات اولیه در Hsuan ظاهر می شود. لانگنبرگ و گتسون (1985). این تک نگاری خلاصه ای از تحقیق در مورد {2}- معکوس است که توسط آل گتسون ادامه یافته است. در حالی که دانشجوی کارشناسی ارشد. با همکاری فرانسیس هسوان از بخش آمار. دانشکده مدیریت بازرگانی. در دانشگاه تمپل فیلادلفیا. ادبیات مربوط به معکوس های تعمیم یافته و موضوعات مرتبط گسترده است و برخی از آنچه در اینجا وجود دارد در جای دیگری ظاهر شده است. بطور کلی. این ادبیات از دیدگاه {2}- معکوس ارائه نشده است. ما سعی کرده ایم عدالت را رعایت کنیم. آثار منتشر شده مربوطه و عذرخواهی می کنیم برای مواردی که نادیده گرفته ایم یا احتمالاً نادرست معرفی کرده ایم.

Much of the traditional approach to linear model analysis is bound up in complex matrix expressions revolving about the usual generalized inverse. Motivated by this important role of the generalized inverse. the research summarized here began as an interest in understanding. in geometric terms. the four conditions defining the qnique Moore-Penrose Inverse. Such an investigation. it was hoped. might lead to a better understanding. and possibly a simplification of. the usual matrix expressions. Initially this research was begun by Francis Hsuan and Pat Langenberg, without knowledge of Kruskal's paper published in 1975. This oversight was perhaps fortu­ nate. since if they had read his paper they may not have continued their effort. A summary of this early research appears in Hsuan. Langenberg and Getson (1985). This monograph is a summary of the research on {2}-inverses continued by Al Getson. while a graduate student. in collaboration with Francis Hsuan of the Depart­ ment of Statistics. School of Business Administration. at Temple University. Philadelphia. The literature on generalized inverses and related topics is extensive and some of what is present here has appeared elsewhere. Generally. this literature is not presented from the point of view of {2}-inverses. We have tried to do justice to . the relevant published works and appologize for those we have either overlooked or possibly misrepresented.